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VIX本身，跟Black Scholes隐含波动率是没有关系的。市场上有一种广泛存在的误会，就是以为VIX是隐含波动率的一种加权平均。其实VIX比这美妙的多，后现代quant已经在学术上对BS模型做了很多革新，VIX就是其中一个成果。为什么VIX只用虚值期权算？VIX计算公式里面，期权的出现是为了近似 “泰勒展开的余项” 的。

 

VIX这个东西的发明，是为了解决这样的一个问题当volatility ske存在的情况下，Black-Scholes的恒定波动率假设部分破了产，我们有没有办法跳过这个公式，而通过其他方式去知道我们想知道的东西未来某一段时间，我们关心的某个asset的variance会有多大。在VIX中，这段时间是一个月，这个asset是SP500 index。

 

 

整个VIX的基础assumption非常的弱。只有这一条注意这里都是可以随着时间变化无常的函数，是什么东西都可以。（这个assumption是非常包罗万象的。它唯一说了的事情就是，资产价格在局部是个类bronian motion形态。）然后从这个清新简单的假设开始，就可以变魔术了^ ^ 根据Ito's Lemma（这里就是变了个形，没有新信息）为什么要突然引入自然对数变形呢，因为这么一变，我们关心的variance就可以被表达出来了这里一共两项。前一项积分离散化一下就可以了，问题出在是第二项，这个自然对数好像并不是太好算。

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天才数学家想到了带积分余项的泰勒公式。（公式完整版见本帖尾部）美妙的是，这个公式并没有进行任何的近似，等号就是严格等于。把带入上式，线性变形一下会得到（这里改用了K是为了后面结合option。）现在有个问题就是，不知道和哪个大，所以有可能积分会倒过来。如果考虑到这一点，我们可以把刚才这个积分写成这样如果进一步添加一些实际上被积函数等于0的地方，还可以这样写值得注意的是，从本文的开头到这里，所有等号全部都是严格等于，没有使用到任何的离散化。

，我们关心的要算的Variance是这样的（左右两边完全相等）到这一步应该有明眼人已经看出来了这里面就是Option Payoff嘛。

 

 

一步结合Market 数据离散近似该表达式。这一步因为的随机属性，涉及到求期望，因为求了期望所以又涉及一些风险中性测度的东西，这些都用的很简单，为了本文不流于细节，我就略过了。只探讨一个部分Option price是怎么用进去的。表达式前面的部分完全用不到期权，两个积分，离散化之后是这样到这一步为什么只使用虚值期权就很明白了。