可赎回债券的凸度（为什么债券的凸性是正的）
1、什么是可赎回债
可赎回债券（callable bond），一种债券，它的发行人有权在特定的时间按照某个价格强制从债券持有人手中将其赎回。也译作可买回债券。可认为是债券与看涨期权（call option）的接合体。在市场利率跌至比可赎回债券的票面利率低得多的时候，债务人如果认为将债券赎回并且按照较低的利率重新发行债券，比按现有的债券票面利率继续支付利息要合算，就会将其赎回。可赎回条款通常在债券发行几年之后才开始生效。赎回价格一开始可能高于债券面值，随着时间推移，逐渐与债券面值重合。但也可以一开始就与面值相等。债券发行人有时会只赎回一部分发行在外的债券。在这种情况下，有两种方法决定哪些债券将被赎回。一是计算机随机抽取债券的编号，二是所有的债券的面值按一定比例被赎回。
2、如何用数学方法证明债券的久期和凸性？
什么是凸性
久期本身也会随着利率的变化而变化。所以它不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性的概念。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
[编辑]凸性的计算
由债券定价定理1与4可知，债券价格-收益率曲线是一条从左上向右下倾斜，并且下凸的曲线。下图中b>a。
债券定价定理1
债券价格与到期收益率成反向关系。
若到期收益率大于息票率，则债券价格低于面值，称为折价债券（discount bonds）；
若到期收益率小于息票率，则债券价格高于面值，称为溢价债券（premium bonds）；
若息票率等于到期收益率，则债券价格等于面值，称为平价债券（par bonds）。
对于可赎回债券，这一关系不成立。
债券定价定理4
若债券期限一定，同等收益率变化下，债券收益率上升导致价格下跌的量，要小于收益率下降导致价格上升的量。
例三债券的面值都为1000元，到期期限5年，息票率7%，当到期收益率变化时。
到期收益率(%) 6 7 8
价格 1042.12 1000 960.07
债券价格变化率(%) 4.21 0 -4.00
[编辑]凸性的性质
1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。
2、对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。
来自"http://iki.mbalib./iki/%E5%87%B8%E6%80%A7"
3、可赎回债券的可赎回债券的条件
在市场利率跌至比可赎回债券的票面利率低得多的时候，债务人如果认为将债券赎回并且按照较低的利率重新发行债券，比按现有的债券票面利率继续支付利息要合算，就会将其赎回。
可赎回条款通常在债券发行几年之后才开始生效。赎回价格一开始可能高于债券面值，随着时间推移，逐渐与债券面值重合。但也可以一开始就与面值相等。
债券发行人有时会只赎回一部分发行在外的债券。在这种情况下，有两种方法决定哪些债券将被赎回。一是计算机随机抽取债券的编号，二是所有的债券的面值按一定比例被赎回。
4、可赎回债券估值计算题
在0期债券市场价格为1000. 票面利息为C
在1期，若债券赎回，价值为1075+C，概率为50%；若债券不赎回，市场利率为8.25%，债券价值为C+C/8.25%,概率为50%。
所以，在1期的债券价值为10750.5+0.5C/0.0825+C
折现到0期，即有等式1000=（10750.5+0.5C/0.0825+C）/1.07
C=75.40
和结果还是差一点，仅供参考讨论。
5、债券收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。 是么？为什么？
尽管该结论得到普遍应用，但经过计算，必须说这个结论是错的。
对于n期零息债来说，无论票面利率是多少，它的久期都是n, 在债券收益率r 不变的情况下，它的凸性也不变，即凸性等于n(n+1)/(1+r)^2。也就是说，对零息债而言，只要期限确定（久期不变），它的凸性也不变。
对于附息债券，这个结论的前提是错的，因为附息债券的久期大小受票面利率、市场利率（收益率）和期限的影响，只要票面利率变化，久期也变，在市场利率和期限一定的情况下，票面利率与久期负相关，票面利率越大，久期越小。不存在票面利率变大而久期不变的附息债。
6、凸性为正的债券是什么意思？怎么看凸性的正负呢？
凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计，是对债券久期利率敏感性的测量。在价格－收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系。由持久期作出的预测将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。它由以下公式定义 无论收益率是上升还是下降，凸性所引起的修正都是正的。如果修正持久期相同，凸性越大越好。
7、请问，投资学债券的凸性计算公式是什么？
债券价格对到期收益率的二阶导数