市场波动率指数 (VIX) 为什么只用虚值的期权计算？

市场波动率指数（VIX）背后的奥秘：为何只采用虚值期权进行计算？

长久以来，市场广泛存在一种误解，认为VIX与Black Scholes隐含波动率存在某种直接关系，甚至被认为是隐含波动率的加权平均。但实际上，VIX的奇妙之处远超过这些。它是后现代量化金融理论对BS模型革新的重要成果之一。

那么，为什么VIX的计算只采用虚值期权呢？这要从其计算公式说起。在VIX的公式中，期权的出现并非随意添加，而是为了近似处理所谓的“泰勒展开的余项”。实际上，VIX的发明是为了解决这样一个问题：当volatility skew存在时，Black-Scholes的恒定波动率假设遭遇挑战。那么，我们能否有一种方法绕过这个公式，以更直观的方式获取资产未来一段时间内的方差信息？这里的时段通常是一个月，资产指的是SP500指数。

关于VIX的基础假设非常简洁且灵活。它只强调一点：资产价格在局部呈现类似布朗运动的随机性。从这个简洁的假设出发，结合Ito's Lemma（这里并没有引入新的信息），通过一系列数学推导，我们能够逐步揭示variance的奥秘。在这个过程中，天才数学家们引入了带积分余项的泰勒公式。这个公式非常美妙，因为它没有进行任何近似处理，等号表示严格相等。

经过一系列复杂的数学推导和变形后，我们发现要计算的variance与期权收益息息相关。最后的步骤是结合市场数据对表达式进行离散近似处理。这一步涉及到求期望和引入风险中性测度等概念。为了简化讨论，我们略过这些部分，重点关注期权价格是如何融入这个计算过程的。表达式的前面部分并不涉及期权，但最后两个积分在离散化后却与期权紧密相连。至此，我们明白为何在计算VIX时只使用虚值期权。

VIX的计算过程既精妙又复杂，涉及深厚的金融理论基础和数学知识。正是这一系列严谨的数学推导和简化假设，使得我们能够一窥市场波动率的奥秘，并通过虚值期权对其进行有效计算。这就是VIX背后的故事，一个关于数学、金融和市场波动的奇妙旅程。